题目内容

5．在四棱锥V-ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB、VD的中点，则四面体AB1CD1的体积与四棱锥V-ABCD的体积之比为（　　）
A．1：6B．1：5C．1：4D．1：3

分析 棱锥A-B1CD1的体积可以看成四棱锥P-ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，由B1，D1分别为侧棱VB、VD的中点，得到棱锥B1-ABC的体积与棱锥D1-ACD的体积和为四棱锥V-ABCD的体积的$\frac{1}{2}$；棱锥B1-VAD1的体积与棱锥B1-VCD1的体积和为四棱锥V-ABCD的体积的$\frac{1}{4}$．由此可得答案．

解答 解：如图，

棱锥A-B1CD1的体积可以看成是四棱锥V-ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，
∵B1为PB的中点，D1为PD的中点，
∴棱锥B1-ABC的体积是棱锥V-ABC体积的$\frac{1}{2}$，棱锥D1-ACD的体积是棱锥V-ACD的体积的$\frac{1}{2}$，
∴棱锥B1-ABC的体积与棱锥D1-ACD的体积和为四棱锥V-ABCD的体积的$\frac{1}{2}$；
棱锥B1-VAD1的体积是棱锥B-VAD体积的$\frac{1}{4}$，棱锥B1-VCD1的体积是棱锥B-VCD体积的$\frac{1}{4}$，
∴棱锥B1-VAD1的体积与棱锥B1-VCD1的体积和为四棱锥V-ABCD的体积的$\frac{1}{4}$．
则中间剩下的棱锥A-B1CD1的体积V=四棱锥P-ABCD的体积-$\frac{3}{4}$个四棱锥P-ABCD的体积
=$\frac{1}{4}$个四棱锥P-ABCD的体积，
则两个棱锥A-B1CD1，P-ABCD的体积之比是1：4．
故选：C．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，利用分割法进行分割，是解题的关键，是中档题．

练习册系列答案
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B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
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