Question

在数列{a_n}中，a1=

1

3

，且S_n=n（2n-1）a_n，
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）归纳{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为S_n=n（2n-1）a_n，所以a₁=s₁，a₂=s₂-s₁，a₃=s₃-s₂，a₄=s₄-s₃这样，就可根据a₁求a₂，a₃，a₄的值．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）找规律，a₁，a₂，a₃，a₄都可写成分子是1，分母是相邻两奇数之积的形式，所以可归纳{a_n}的通项公式为an=

1

(2n-1)(2n+1)

，再用数学归纳法来证明．

解答：解：（Ⅰ）a₁+a₂=2（2×2-1）a₂，因为a1=

1

3

，
所以a2=

1

3×5

=

1

15

，a₁+a₂+a₃=3（2×3-1）a₃，解得a3=

1

5×7

=

1

35

，
同理a4=

1

7×9

=

1

63

．…（6分）
（Ⅱ）根据计算结果，可以归纳出 an=

1

(2n-1)(2n+1)

．
当n=1时，x1=

1

(2×1-1)(2×1+1)

=

1

3

，与已知相符，归纳出的公式成立．
假设当n=k（k∈N^*）时，公式成立，即ak=

1

(2k-1)(2k+1)

．
由S_n=n（2n-1）a_n可得，a_k+1=S_k+1-S_k=（k+1）（2k+1）a_k+1-k（2k-1）a_k．
即 ak+1=

2k-1

2k+3

ak=

2k-1

2k+3

•

1

(2k-1)(2k+1)

=

1

(2k+1)(2k+3)

．
所以ak+1=

1

[2(k+1)-1][2(k+1)+1]

．
即当n=k+1时公式也成立．
综上，an=

1

(2n-1)(2n+1)

对于任何n∈N^*都成立．…（12分）

点评：本题考查了利用不完全归纳法归纳数列通项公式，再用数学归纳法证明的方法．