Question

【题目】已知抛物线：（），其上一点到的焦点的距离为4.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）过点的直线与抛物线分別交于，两点（点，均在轴的上方），若的面积为4，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）

【解析】

（1）根据题意，结合抛物线的定义列方程求出，写出抛物线的方程即可；

（2）设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合面积公式，列方程求出，即可得解.

解：（Ⅰ）抛物线：（）上一点到的焦点的距离为4，

由抛物线的定义，得，解得，

所求抛物线的方程为.

（Ⅱ）由题意知，直线的斜率一定存在.

①当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意.

②当直线的斜率不为0时，

依题意，设直线：，

设点，.

点均在轴的上方，

，，

由（Ⅰ）知抛物线的焦点，则.

联立直线的方程与抛物线的方程，即，

消去并整理得.

由，得（因为），

且有，，

，

解得或，

又，

，

：，

直线的方程为.