Question

【题目】有一块半径为，圆心角为的扇形钢板，需要将它截成一块矩形钢板，分别按图1和图2两种方案截取（其中方案二中的矩形关于扇形的对称轴对称）．

图1：方案一 图2：方案二

（1）求按照方案一截得的矩形钢板面积的最大值；

（2）若方案二中截得的矩形为正方形，求此正方形的面积；

（3）若要使截得的钢板面积尽可能大，应选择方案一还是方案二？请说明理由，并求矩形钢板面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）25（2）（3）方案二,最大值为,理由见解析

【解析】

（1）连接,设,则,,则矩形面积为关于的函数,求出最值即可；

（2）连接,设,利用正弦定理和三角形的对称性质可得,利用解得,进而求出正方形面积即可；

（3）由（2）得到,求出最大值,与（1）的最值比较即可

解：（1）连接,设,,

则,,

,

,

当,即时,

（2）连接,设,

正方形关于扇形轴对称,

,

则,

在中,由正弦定理可得,即,

则,

正方形,

,即,则,

代入可得,

则

（3）选择方案二,

由（2）,对于方案二

,

当,即时,

由（1）,

应选择方案二