Question

【题目】已知双曲线C和椭圆1有公共的焦点，且离心率为．

（1）求双曲线C的方程；

（2）经过点M（2，1）作直线l交双曲线C于A、B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】(1) x2﹣y2＝1；(2) 2x﹣y﹣3＝0．

【解析】

（1）由椭圆方程求得双曲线的半焦距，结合离心率求得实半轴长，再由隐含条件求得虚半轴长，则双曲线C的方程可求；

（2）设出A，B的坐标，利用“点差法”求得斜率，则直线l的方程可求．

（1）由椭圆1，得a2＝3，b2＝1，

∴c，则双曲线的半焦距c＝2，

又其离心率为，则其实半轴长为1，虚半轴长为．

∴双曲线C的方程为x2﹣y2＝1；

（2）由题意可知，直线l的斜率存在．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，，

两式作差可得：（x1﹣x2）（x1+x2）＝（y1﹣y2）（y1+y2），

得，

∵M（2，1）为AB的中点，∴，

∴直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣2），即2x﹣y﹣3＝0．