Question

数列{a_n}满足a₁=1且8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0（n≥1）．记．
（Ⅰ）求b₁、b₂、b₃、b₄的值；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式及数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（法一）（I）由a₁结合递推公式可求a₂，a₃，a₄，代入求b₁，b₂，b₃，b₄
（II）先由（I）中求出的b₁，b₂，b₃，b₄的值，观察规律可猜想数列为等比数列，进而可求b_n，结合⇒，从而猜想得以证明，代入求出a_n•b_n，进而求出前n和s_n
（法二）（I）代入递推公式可得，代入可求b₁，b₂，b₃，b₄
（II）利用（I）中的递推关系个构造数列为等比数列，从而可求b_n，s_n
（法三）（I）同法一
（II）先由（I）中求出的b₁，b₂，b₃，b₄的值，观察规律可猜想数列b_n+1-b_n为等比数列，仿照法一再证明猜想，根据求通项的方法求b_n，进一步求s_n
解答：解：法一：
（I）a₁=1，故；，
故；，
故；，
故．

（II）因，
故猜想是首项为，公比q=2的等比数列．
因a_n≠2，（否则将a_n=2代入递推公式会导致矛盾）故．
因，

故确是公比为q=2的等比数列．
因，故，，
由得，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n===

法二：
（Ⅰ）由得，代入递推关系8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0，
整理得，即，
由a₁=1，有b₁=2，所以．

（Ⅱ）由，
所以是首项为，公比q=2的等比数列，
故，即．
由，得，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n===．

法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）猜想{b_n+1-b_n}是首项为，
公比q=2的等比数列，
又因a_n≠2，故．
因此=
；
=．
因是公比q=2的等比数列，，
从而b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=
=
=．
由得，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n===．
点评：本题考查了数列的综合运用：递推关系的运用，构造等比求数列通项，累加求通项，归纳推理的运用，综合考查了考生的推理运算能力．