Question

已知函数f（x）=x-

2

x

+a(2-lnx)，(a＞0)．
（1）讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）在区间（1，2）上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的定义域和导数fˊ（x）=

x2-ax+2

x2

，设g（x）=x²-ax+2，因为在函数式中含字母系数，需要根据△的符号进行分类讨论，分别在函数的定义域内解不式g（x）＞0和g（x）＜0确定的f（x）单调区间；
（2）由条件确定f'（x）≤0，再转化为x²-ax+2≤0在（1，2）上恒成立，由二次函数的图象列出不等式求解，避免了分类讨论．

解答：解：（1）由题意得，函数f（x）的定义域是（0，+∞），
且f′（x）=1+

2

x2

-

a

x

=

x2-ax+2

x2

     
设g（x）=x²-ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a²-8，
①当△=a²-8＜0，即0＜a＜2

2

时，对一切x＞0都有f′（x）＞0，
此时f（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当△=a²-8=0，即a=2

2

时，仅对x=

2

有f′（x）=0，
对其余的x＞0，都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上也是增函数．
③当△=a²-8＞0，即a＞2

2

时，
g（x）=x²-ax+2=0有两个不同的实根x1=

a- a2-8

2

，x2=

a+ a2-8

2

，
由f′（x）＞0得，0＜x＜

a- a2-8

2

或x＞

a+ a2-8

2

，
由f'（x）＜0得，

a- a2-8

2

＜x＜

a+ a2-8

2

，
此时f（x）在（0，

a- a2-8

2

），（

a+ a2-8

2

，+∞）上单调递增，
在（

a- a2-8

2

，

a+ a2-8

2

）是上单调递减，
（2）解：f′（x）=1+

2

x2

-

a

x

=

x2-ax+2

x2

，
依题意f'（x）≤0（等零的点是孤立的），即x²-ax+2≤0在（1，2）上恒成立，
令g（x）=x²-ax+2，则有

g(1)≤0 g(2)≤0

，解得a≥4，
故实数a的取值范围为[4，+∞）．

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、解不等式以及二次函数的图象应用等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力，以及分类讨论的思想方法．