Question

2．已知函数f（x）=2sin²x+2$\sqrt{3}$sinx•sin（x+$\frac{π}{2}$）（ω＞0）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=1+2sin（2x-$\frac{π}{6}$），由周期公式可得；
（2）由x∈[0，$\frac{2π}{3}$]结合三角函数的性质可得取值范围．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得
f（x）=2sin²x+2$\sqrt{3}$sinx•sin（x+$\frac{π}{2}$）
=2sin²x+2$\sqrt{3}$sinx•cosx
=1-cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=1+2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵x∈[0，$\frac{2π}{3}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
∴1+2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[0，3]，
∴函数f（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范围为：[0，3]

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题．