题目内容
已知函数：
．
（1）当a=﹣3时，求过点（1，0）曲线y=f（x）的切线方程；
（2）求函数y=f（x）的单调区间；
（3）函数是否存在极值？若有，则求出极值点；若没有，则说明理由．
．（1）当a=﹣3时，求过点（1，0）曲线y=f（x）的切线方程；
（2）求函数y=f（x）的单调区间；
（3）函数是否存在极值？若有，则求出极值点；若没有，则说明理由．
解：（1）当a=﹣3时，f（x）=﹣x3+1对函数求导可得，f'（x）=﹣3x2
由导数的几何意义可得，曲线在（1，0）处的切线的斜率k=f'（1）=﹣3
∴过点（1，0）曲线y=f（x）的切线方程为y=﹣3（x﹣1）
即3x+y﹣3=0
（2）对函数求导可得，f'（x）=ax2+（a+3），
①当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增
②当a≤﹣3时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减
③当﹣3＜a＜0，由f'（x）＞0，可得
，
即f（x）在（﹣
，+
）单调递增；
f'（x）≤0，f（x）在（﹣∞，
]，[
，+∞）单调递减
（3）由（2）得，当﹣3＜a＜0，函数在x=﹣
存在极小值，在x=
存在极大值
由导数的几何意义可得，曲线在（1，0）处的切线的斜率k=f'（1）=﹣3
∴过点（1，0）曲线y=f（x）的切线方程为y=﹣3（x﹣1）
即3x+y﹣3=0
（2）对函数求导可得，f'（x）=ax2+（a+3），
①当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增
②当a≤﹣3时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减
③当﹣3＜a＜0，由f'（x）＞0，可得
，即f（x）在（﹣
，+）单调递增；f'（x）≤0，f（x）在（﹣∞，
]，[，+∞）单调递减（3）由（2）得，当﹣3＜a＜0，函数在x=﹣
存在极小值，在x=存在极大值
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，如果满足：对任意
，存在常数
，都有
成立，则称
是D上的有界函数，其中M称为函数
；
．
上的值域，并判断函数
上是以3为上界的
有界函数，求实数a的取值范围；
，函
数
在
上的上界是
，求
），
；
，
为偶函数时，求
的值。
时，
在
上是单调递增函数，求
的取值范围。
时，（其中
，
），若
，且函数
的图像关于点
对称，在
处取得最小值，试探讨
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