Question

(本小题满分16分)
定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界．
已知函数；．
（1）当a=1时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界数，请说明理由；
（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）若，函数在上的上界是，求的取值范围．

Answer 1

解：(1) 当时， 
因为在上递减，所以，即在的值域为
故不存在常数，使成立
所以函数在上不是有界函数．  
(2) 由题意知，在上恒成立．
，   
∴ 在上恒成立
∴ 
设，，，由得 t≥1，
设，

所以在上递减，在上递增，
在上的最大值为，在上的最小值为 
所以实数a的取值范围为
(3) ，
∵ m > 0 ，     
∴ 在上递减，∴     即 
①当，即时，，此时，
②当，即时，， 此时，  
综上所述，当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是

解析