题目内容
设z=2x+y，变量x，y满足条件
（1）求z的最大值zmax与最小值zmin；
（2）已知a＞0，b＞0，2a+b=zmax，求ab的最大值及此时a，b的值；
（3）已知a＞0，b＞0，2a+b=zmin，求
+
的最小值及此时a，b的值．
|
（1）求z的最大值zmax与最小值zmin；
（2）已知a＞0，b＞0，2a+b=zmax，求ab的最大值及此时a，b的值；
（3）已知a＞0，b＞0，2a+b=zmin，求
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
考点：简单线性规划
专题：不等式的解法及应用
分析：（1）画出约束条件表示的可行域，判断目标函数的几何意义，即可求解z的最大值zmax与最小值zmin；
（2）通过a＞0，b＞0，2a+b=zmax，得到关系式，然后利用基本不等式即可求ab的最大值及此时a，b的值；
（3）通过a＞0，b＞0，2a+b=zmin，得到关系式，化简
+
为1+
+
，利用基本不等式即可求解最小值及此时a，b的值．
（2）通过a＞0，b＞0，2a+b=zmax，得到关系式，然后利用基本不等式即可求ab的最大值及此时a，b的值；
（3）通过a＞0，b＞0，2a+b=zmin，得到关系式，化简
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 2a |
| 3b |
| b |
| 3a |
解答：
解：（1）满足条件
的可行域如图
…（2分）
将目标函数z=2x+y变形为y=-2x+z，它表示斜率为-2的直线，观察图形，可知当直线过点A时，z取得最大值，当直线过点B时，z取得最小值．
由
解得A（5，2），所以zmax=12．…（3分）
由
解得B（1，1），所以zmin=3．…（4分）
（2）∵2a+b=12，又2a+b≥2
，
∴2
≤12，∴ab≤18．…（6分）
当且仅当2a=b，即a=3，b=6时等号成立．
∴ab的最大值为18，此时a=3，b=6
（3）∵2a+b=3，
∴
+
=(
+
)(2a+b)=1+
+
…（10分）≥1+2
=1+
，…（11分）
当且仅当
=
，即a=
，b=3
-3时，等号成立．
∴
+
的最小值为1+
，此时a=
，b=3
-3．…（12分）
解：（1）满足条件
|
…（2分）
将目标函数z=2x+y变形为y=-2x+z，它表示斜率为-2的直线，观察图形，可知当直线过点A时，z取得最大值，当直线过点B时，z取得最小值．
由
|
由
|
（2）∵2a+b=12，又2a+b≥2
| 2a•b |
∴2
| 2ab |
当且仅当2a=b，即a=3，b=6时等号成立．
∴ab的最大值为18，此时a=3，b=6
（3）∵2a+b=3，
∴
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 2a |
| 3b |
| b |
| 3a |
|
2
| ||
| 3 |
当且仅当
| 2a |
| 3b |
| b |
| 3a |
6-3
| ||
| 2 |
| 2 |
∴
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
2
| ||
| 3 |
6-3
| ||
| 2 |
| 2 |
点评：本题考查线性规划的应用，基本不等式求解表达式的最值，基本知识的考查．
练习册系列答案
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把十进制数15化为二进制数为（ ）
| A、1 011（2） |
| B、1 001（2） |
| C、1 111（2） |
| D、1 101（2） |
如图，在三棱锥O-ABC中，G是△ABC的重心，若| OA |
| a |
| OB |
| b |
| OC |
| c |
| a |
| b |
| c |
| OG |
A、
| ||||||
B、
| ||||||
| C、a+b+c | ||||||
| D、3a+3b+3c |
已知函数y=2x，g（x）=f（x-2）-1，若g（a）＜1＜f（a），则实数a的取值范围为（ ）
| A、（-∞，0）∪（3，+∞） |
| B、（-∞，0） |
| C、（0，3） |
| D、（0，+∞） |
