Question

12．如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC=3，CD=2，DA=1，四边形的四个角分别记为A，B，C，D．
（1）若A+C=π，求BD的长度．
（2）若△ABD和△BCD的面积分别记为S，T，求S²+T²的最大值．

Answer 1

分析 （1））△ABD中，BD²=16+1-2×4×1×cosA，①，△BCD中，BD²=9+4-2×3×2×cosC，②，A+C=π，①+②，可求BD的长度．
（2）先计算S，T，由（1）可得2cosA-3cosC=1，利用配方法求S²+T²的最大值．

解答 解：（1）△ABD中，BD²=16+1-2×4×1×cosA，①
△BCD中，BD²=9+4-2×3×2×cosC，②
∵A+C=π，
∴①+②，可得2BD²=30，∴BD=$\sqrt{15}$；
（2）由（1）可得2cosA-3cosC=1，
S=$\frac{1}{2}•4•1•sinA$=2sinA，T=$\frac{1}{2}•3•2•sinC$=3sinC，
∴S²+T²=4sin²A+9sin²C=4-（3cosC+1）²+9sin²C=-18cos²C-6cosC+12=-18（cosC+$\frac{1}{6}$）²+12.5，
∴cosC=-$\frac{1}{6}$，S²+T²的最大值为12.5．

点评 本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．