Question

设M是圆x²+y²-6x-8y=0上的动点，O是原点，N是射线OM上的点，若|OM|•|ON|=150，求点N的轨迹方程．

Answer 1

分析：先设M、N的坐标分别为（x₁，y₁），（x，y），欲求出动点N的轨迹方程，只须求出x，y的关系式即可，结合|OM|•|ON|=150关系式，用坐标来表示距离，利用直线的斜率与坐标的关系即可求得点N的轨迹方程．

解答：解：设M、N的坐标分别为（x₁，y₁），（x，y），
由题设|OM|•|ON|=150，得

x 2 1 + y 2 1

•

x2+y2

=150，
当x₁≠0，x≠0时，∵N是射线OM上的点，
∴有

y

x

=

y1

x1

，设

y

x

=

y1

x1

=k，
有y=kx，y₁=kx₁，则原方程为x₁²+k²x₁²-6x₁-8kx₁=0，
由于x≠0，所以（1+k²）x₁=6+8k，
又|x₁x|（1+k²）=150，因为x与x₁同号，
所以x₁=

150

(1+k2)x

，代入上式得

150

x

=6+8k，
因为k=

y

x

，所以

150

x

=6+8

y

x

，
化简可得：3x+4y-75=0为所求．

点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．本题求曲线的轨迹方程采用的方法是直接法，直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．