Question

已知不等式xy≤ax²+2y²，若对任意x∈[1，2]且y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≥-1

B．a≤-1

C．a≥-15

D．a≤-15

Answer 1

分析：将a分离出来得a≥

y

x

-2（

y

x

）²，然后根据x∈[1，2]，y∈[2，3]求出

y

x

的范围，令t=

y

x

，则a≥t-2t²在[1，3]上恒成立，利用二次函数的性质求出t-2t²的最大值，即可求出a的范围．

解答：解：由题意可知：不等式xy≤ax²+2y²对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
即：a≥

y

x

-2（

y

x

）²，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
令t=

y

x

，根据右图可知则1≤t≤3，
∴a≥t-2t²在[1，3]上恒成立，
∵y=-2t²+t=-2（t-

1

4

）²+

1

8

，1≤t≤3，
∴y_max=-1，
∴a≥-1
故选A．

点评：本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分离参数的方法、恒成立的思想以及整体代换的技巧．值得同学们体会与反思．属于中档题．