Question

已知x＞0，y＞0，且9x+y=xy，不等式ax+y≥25对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为

4

．

Answer 1

分析：由已知可得，

9

y

+

1

x

=1，从而有ax+y=（ax+y）（

1

x

+

9

y

），然后利用基本不等式可求

解答：解：∵x＞0，y＞0，且9x+y=xy，
∴

9

y

+

1

x

=1
∵ax+y=（ax+y）（

1

x

+

9

y

）=9+a+

9ax

y

+

y

x

≥9+a+2

9ax y • y x

=9+a+6

a

（当且仅当

9ax

y

=

y

x

时取等号）
∵ax+y≥25对任意正实数x，y恒成立
∴9+a+6

a

≥25
解可得，a≥4，即a的最小值4
故答案为：4

点评：本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，解题的关键是进行1的代换，从而配凑基本不等式的应用条件