Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是棱的中点，.

（1）证明：平面；

（2）设是线段的中点，且平面，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接，交于点，连接，通过证明，证得平面.

（2）建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

（1）如图，连接，交于点，连接.

易知，所以.

由可得，

所以.

又平面，平面，所以平面.

（2）因为平面，所以，又是线段的中点，所以.

因为，故，均是等边三角形.

连接，易知，.

如图，以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.

不妨设，则，，，，.

由，得，

所以的中点，所以，.

设平面的一个法向量为，则，即.

得方程组的一组解为，即.

又平面的一个法向量为，

所以.

所以二面角的余弦值为.