Question

【题目】如图“月亮图”是由曲线与构成，曲线是以原点为中点， 为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点， 为焦点的抛物线的一部分， 是两条曲线的一个交点.

（Ⅰ）求曲线和的方程；

（Ⅱ）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于四点，若为的中点， 为的中点，问： 是否为定值？若是求出该定值；若不是说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）为定值3

【解析】试题分析：（Ⅰ）设曲线所在的抛物线的方程为y2=2px，将代入可得p的值，利用椭圆的定义，可得曲线所在的椭圆的方程；（Ⅱ）设，过F2与x轴不垂直的直线为x=ty+1，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，同理可得，进而可得为定值．

试题解析：（Ⅰ）由题意得抛物线，设椭圆方程为，

则,得

故椭圆的方程为.

（Ⅱ）设，把直线代入

得，

则， 同理将代入

得： ，

为定值.