Question

【题目】已知函数，且.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若对任意，都有，求的取值范围；

（Ⅲ）证明函数的图象在图象的下方.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求函数的导数得，由求出的值即可得到函数的解析式；（Ⅱ），构造函数，则，求函数导数，利用导数求函数即可；（Ⅲ）“函数的图象在图象的下方”等价于“恒成立”，由（Ⅱ）可得即，所以只要证即，构造函数，证明在区间上，即可.

试题解析： （Ⅰ）易知，所以，又………………1分

∴……………………………2分

∴.…………………………3分

（Ⅱ）若对任意的，都有，

即恒成立，即：恒成立………………4分

令，则，…………………………6分

当时，，所以单调递增；

当时，，所以单调递减；……………………8分

∴时，有最大值，

∴，即的取值范围为.…………………………10分

（Ⅲ）要证明函数的图象在图象的下方，

即证：恒成立，

即：………………………11分

由（Ⅱ）可得：，所以，

要证明，只要证明，即证：………………12分

令，则，

当时，，所以单调递增，

∴，

即，……………13分

所以，从而得到，

所以函数的图象在图象的下方.…………14分