Question

6．已知x，y满足条件：$\left\{\begin{array}{l}7x-5y-23≤0\\ x+7y-11≤0\\ 4x+y+10≥0\end{array}\right.$，求：
（1）4x-3y的最小值；
（2）$\frac{x-y+1}{x+5}$的取值范围．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．

解答 解：（1）不等式组$\left\{\begin{array}{l}7x-5y-23≤0\\ x+7y-11≤0\\ 4x+y+10≥0\end{array}\right.$表示的公共区域如图所示：
其中A（4，1）、B（-1，-6）、C（-3，2），
设z=4x-3y，则y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{z}{3}$，平移直线y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{z}{3}$，
由图象可知当直线y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{z}{3}$过C点时，直线的截距最大，此时z取得最小值，
将C（-3，2），代入z=4x-3y得最小值，
即z的最小值z=4×（-3）-3×2=-18．
（2）$\frac{x-y+1}{x+5}$=$\frac{x+5-（y+4）}{x+5}$=1-$\frac{y+4}{x+5}$，
设k=$\frac{y+4}{x+5}$，则k的几何意义是动点（x，y）到定点D（-5，-4）的斜率，
而K_CD=$\frac{-4-2}{-5+3}$=3，K_BD=$\frac{-4+6}{-5+1}$=-$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤k≤3，
∴-2≤1-k≤$\frac{3}{2}$，
即$\frac{x-y+1}{x+5}$的取值范围是[-2，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．