Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，，其中.

（1）若，求的面积；

（2）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形.

Answer 1

【答案】(1) (2) x轴上存在定点，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形

【解析】

（1）当时得直线l：，与椭圆联立得B，再求面积

（2）设直线l： ，与椭圆联立，由直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形，得 ，利用斜率代入韦达定理化简得定点坐标

（1）当时，代入椭圆方程可得点坐标为或

若点坐标为，此时直线l：

联立，消x整理可得

解得或，故B

所以的面积为

，由对称性知的面积也是，

综上可知，当时，的面积为.

（2）显然直线l的斜率不为0，设直线l：

联立，消去x整理得

由，得

则， ,

因为直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形，

所以

设，则,

即,

解得.

故x轴上存在定点，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形．