Question

如图，在四棱锥中，底面为矩形，.
（1）求证，并指出异面直线PA与CD所成角的大小；
（2）在棱上是否存在一点，使得？如果存在，求出此时三棱锥与四棱锥的体积比；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

(1);(2)详见解析.

试题分析：(1)要证明,只需证明面,利用面,推出,又因为矩形,得到,从而易证面；若证得面，显然与的角为直角；
（2）当点为中点时，与交于点0，易证,使面,利用体积的转化得到，，最终得到三棱锥与四棱锥的体积比.
试题解析：（1）∵，，
∴                      2分
∵四边形为矩形，∴，
又，∴            4分
故，∴             5分
PA与CD所成的角为                6分
（2）当点E为棱PD的中点时，        6分
下面证明并求体积比：
取棱PD的中点E，连接BD与AC相交于点O，连接EO.
∵四边形为矩形，∴O为BD的中点
又E为棱PD的中点，∴.
∵，
∴                    8分
当E为棱PD的中点时，，
又，∴