Question

2．已知f（x）=sin（x+φ）cosx的图象关于原点（0，0）对称，且x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f（x）＞0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）作函数y=|f（x）|+f（x）的图象，写出单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）先根据f（x）的图象关于原点对称得到f（x）=-f（-x），再由两角和与差的正弦公式展开化简，再根据x的范围，即可得解函数的解析式．
（2）用五点法即可作出函数y=|f（x）|+f（x）的图象，利用函数图象即可写出单调递增区间．

解答 解：（1）∵f（x）的图象关于原点对称，∴f（x）=-f（-x）恒成立，
即sin（x+φ）cosx=-sin（-x+φ）cos（-x）恒成立．
∴cosx[sin（x+φ）-sin（x-φ）]=0恒成立，
∴2cos²xsinφ=0恒成立．
∴sinφ=0，∴φ=kπ（k∈Z），
∴f（x）=sin（x+kπ）cosx=$±\frac{1}{2}$sin2x，（k∈Z）．
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，2x∈（0，π），$\frac{1}{2}$sin2x＞0．
∴k为偶数，f（x）=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x．
（2）作函数y=|f（x）|+f（x）的图象如下：

由函数图象可得单调递增区间为：[kπ，k$π+\frac{π}{4}$]，k∈Z．

点评 本题是处理三角函数性质的综合题，要求掌握好三角的恒等变形及三角式的求值等方面的知识．考查综合能力，转化与化归思想，以及分析问题和解决问题的能力．