Question

7．对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，
（Ⅰ）求满足条件的实数x的集合A；
（Ⅱ）是否存在x，y，z∈A，使得x+y+z=1，且$\sqrt{3x+1}$+$\sqrt{3y+1}$+$\sqrt{3z+1}$=5同时成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得|x-1|+|x-2|小于或等于$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$的最小值，而$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$的最小值等于2，故x的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2的解，根据数轴上的$\frac{1}{2}$、$\frac{5}{2}$对应点到1和2对应点的距离之和等于2，可得不等式的解集．
（Ⅱ）$\frac{1}{3}$×（$\sqrt{3x+1}$+$\sqrt{3y+1}$+$\sqrt{3z+1}$）≤$\sqrt{\frac{3x+1+3y+1+3z+1}{3}}$=$\sqrt{2}$，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题知，|x-1|+|x-2|≤$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$恒成立，
故|x-1|+|x-2|小于或等于$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$的最小值．
∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|，当且仅当 （a+b）（a-b）≥0 时取等号，
∴$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2的解．
由于|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，
又由于数轴上的$\frac{1}{2}$、$\frac{5}{2}$对应点到1和2对应点的距离之和等于2，
故不等式的解集为[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．
（Ⅱ）$\frac{1}{3}$×（$\sqrt{3x+1}$+$\sqrt{3y+1}$+$\sqrt{3z+1}$）≤$\sqrt{\frac{3x+1+3y+1+3z+1}{3}}$=$\sqrt{2}$．
∴$\sqrt{3x+1}$+$\sqrt{3y+1}$+$\sqrt{3z+1}$≤3$\sqrt{2}$≠5，所以不存在这样的x，y，z满足条件．

点评 本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，考查基本不等式的运用，判断|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，是解题的关键．