Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的一段图象（如图）所示．
（1）求函数的解析式；
（2）写出这个函数的单调增区间；
（3）若x∈[-

π

6

，

π

3

]时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并求出此时x的取值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由图易知A=3，T=

2π

ω

=π，可求得ω=2，利用五点作图法可知，2×（-

π

6

）+φ=0，可求得φ，于是可得函数的解析式；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ-

π

2

（k∈Z）即可求得函数f（x）=3sin（2x+

π

3

）的单调递增区间；
（3）x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒（2x+

π

3

）∈[0，π]，利用正弦函数的单调性质及最值即可求得m的值，继而可求得函数g（x）的最大值及取得最大值时x的取值．

解答： 解：（1）由图可知，A=3，T=

2π

ω

=

5π

6

-（-

π

6

）=π，故ω=2；
由五点作图法可知，2×（-

π

6

）+φ=0，
所以，φ=

π

3

，满足，|

π

3

|＜π，
所以f（x）=3sin（2x+

π

3

）；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ-

π

2

（k∈Z）得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z），
所以函数f（x）=3sin（2x+

π

3

）的单调递增区间为：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）；
（3）x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒（2x+

π

3

）∈[0，π]⇒f（x）=3sin（2x+

π

3

）∈[0，3]，
故g（x）=f（x）+m∈[m，m+3]，
因为x∈[-

π

6

，

π

3

]时，g（x）_min=2，所以m=2，
所以，g（x）_max=m+3=5，此时2x+

π

3

=

π

2

，x=

π

12

．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查正弦函数的单调性与最值，考查运算求解能力．