Question

已知椭圆E：

x2

9

+

y2

4

=1及点M（1，1）．
（1）直线l过点M与椭圆E相交于A，B两点，求当点M为弦AB中点时的直线l方程；
（2）直线l过点M与椭圆E相交于A，B两点，求弦AB的中点轨迹；
（3）（文）斜率为2的直线l与椭圆E相交于A，B两点，求弦AB的中点轨迹．
（3）（理）若椭圆E上存在两点A，B关于直线l：y=2x+m对称，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程可得

x12

9

+

y12

4

=1，

x22

9

+

y22

4

=1，利用点差法及点M（1，1）为弦AB中点，即可求得点M为弦AB中点时的直线l方程；
（2）设弦AB的中点为（x，y），则由（1）知-

4x

9y

=

y-1

x-1

，从而可得弦AB的中点轨迹；
（3）（文）设弦AB的中点为（x，y），则由（1）知2=-

4x 9y

，从而可得弦AB的中点轨迹；
（理）设A，B的中点M为（x₀，y₀），利用两点A，B关于直线l：y=2x+m对称，可得：x0=

9

10

m，y0=

4

5

m，利用点M必在椭圆内部，可求m的取值范围．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程可得

x12

9

+

y12

4

=1，

x22

9

+

y22

4

=1
两式相减可得

y1-y2 x1-x2

=-

4(x1+x2) 9(y1+y2)

∵点M（1，1）为弦AB中点，∴

y1-y2 x1-x2

=-

4

9

∴点M为弦AB中点时的直线l方程为y-1=-

4

9

（x-1），即9y+4x-13=0
（2）设弦AB的中点为（x，y），则由（1）知-

4x

9y

=

y-1

x-1

，即9y²+4x²-9y-4x=0，∴弦AB的中点轨迹为椭圆；
（3）（文）设弦AB的中点为（x，y），则由（1）知2=-

4x 9y

，即9y+2x=0，∴弦AB的中点轨迹为直线；
（理）设A，B的中点M为（x₀，y₀），k_AB=-

1

2

=-

4x0

9y0

①
又中点M在直线l：y=2x+m上，y₀=2x₀+m②
由①②得：x0=

9

10

m，y0=

4

5

m
点M必在椭圆内部，所以有

x02

9

+

y02

4

＜1
∴

9

100

m2+

4

25

m2＜1
∴m²＜4
解得：-2＜m＜2

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合，考查点差法的运用，考查对称性，解题的关键是正确运用点差法．