Question

已知椭圆C的方程为

x2

9-k

+

y2

k-1

=1．
（1）求k的取值范围；         
（2）若椭圆C的离心率e=

6 7

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，方程

x2

9-k

+

y2

k-1

=1表示椭圆，则 x²，y²项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案．
（2）先根据题意利用k表示出a，b，进而根据离心率列出关于k的方程，则k的值可得．

解答：解：（1）∵方程

x2

9-k

+

y2

k-1

=1表示椭圆，
则 

9-k＞0 k-1＞0 9-k≠k-1

，
解得 k∈（1，5）∪（5，9）
（2）①当9-k＞k-1时，依题意可知a=

9-k

，b=

k-1

∴c=

10-2k

∵

c

a

=

6 7

∴

10-2k

9-k

=

6

7

∴k=2；
②当9-k＜k-1时，依题意可知b=

9-k

，a=

k-1

∴c=

2k-10

∵

c

a

=

6 7

∴

2k-10

k-1

=

6

7

∴k=8；
∴k的值为2或8．

点评：本题考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质，注意其标准方程的形式与圆、双曲线的标准方程的异同，考查运算能力，属基础题．