Question

（2013•浙江模拟）在直三棱柱（侧棱垂直底面）ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°．
（Ⅰ）若异面直线A₁B与B₁C₁所成的角为60°，求棱柱的高；
（Ⅱ）设D是BB₁的中点，DC₁与平面A₁BC₁所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sinθ的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设AA₁=h，则可得B、B₁、C₁、A₁各点的坐标，得到向量

B1C1

、

A1C1

、

A1B

的坐标，然后根据异面直线A₁B与B₁C₁所成的角60°，结合空间向量夹角公式建立关于h的方程，解之可得h=1，即得该棱柱的高；
（II）根据（I）所建立的坐标系，可得D(1，0，

h

2

)，从而有

DC1

=(-1，1，

h

2

)，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出

n

=(h，0，1)是平面平面A₁BC₁的一个法向量，再用直线与平面所成角的定义得

n

与

DC1

夹角的余弦值等于sinθ，由此建立sinθ关于h的函数关系式，结合基本不等式求最值即可得到：当且仅当h=

4	8

时，sinθ取到最大值．由此即可得到sinθ的最大值．

解答：解：分别以AB、AC、AA₁为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
设AA₁=h（h＞0），则有B（1，0，0），B₁（1，0，h），C₁（0，1，h），A₁（0，0，h），

B1C1

=(-1，1，0)，

A1C1

=(0，1，0)，

A1B

=(1，0，-h)…（2分）
（Ⅰ）∵异面直线A₁B与B₁C₁所成的角60°，
∴cos60°=

| B1C1 • A1B |

| B1C1 |•| A1B |

，即

1

2 • h2+1

=

1

2

，
得

1+h2

=

2

，解得h=1，即得该棱柱的高为1．（6分）
（Ⅱ）∵D是BB₁的中点，得D(1，0，

h

2

)，
∴可得

DC1

=(-1，1，

h

2

)．
设平面A₁BC₁的法向量为

n

=(x，y，z)，于是

n

⊥

A1B

，

n

⊥

A1C1

，
可得

n • A1B =0 n • A1C1 =0

，即

x-hz=0 y=0，

，可取

n

=(h，0，1)，（8分）
于是sinθ=|cos＜

DC1

，

n

＞|．
而|cos＜

DC1

，

n

＞|=

| DC1 • n |

| DC1 || n |

=

|-h+ h 2 |

h2+1 • 1 4 h2+2

=

h

h4+9h2+8

．
令f(h)=

h

h4+9h2+8

=

1

h2+ 8 h2 +9

，（10分）
∵h2+

8

h2

+9≥2

8

+9，当且仅当h2=

8

h2

，即h=

4	8

时，等号成立．
∴f(h)≤

1

9+2 8

=

1

8 +1

=

2 2 -1

7

，
故当h=

4	8

时，sinθ的最大值

2 2 -1

7

．（12分）

点评：本题给出直三棱柱，在已知上下底面为等腰直角三角形且异面直线所成角为60度的情况下求棱柱的高，并讨论直线所平面所成角的正弦值．着重考查了线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究直线与平面所成角等知识，属于中档题．