Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．
（1）证明：AC⊥PB；
（2）若PC=

3

BC，示平面PAB与平面PADC所成二面角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析：（1）通过四边形ABCD是正方形，证明PD⊥底面ABCD，然后证明AC⊥平面PDB，即可证明；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，确定平面PBA的一个法向量

n

=(1，0，

2

)，平面PDC的一个法向量

DA

=（0，0，1），利用向量的夹角公式，即可求平面PAB与平面PADC所成二面角（锐角）的余弦值．

解答：（1）证明：连接BD
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD
∴PD⊥AC，
∵BD∩PD=D，∴AC⊥平面PDB，
∵PB?平面PDB，
∴AC⊥PB；
（2）解：设BC=1，则PC=

3

，在直角△PDC中，PD=

2

建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则P（

2

，0，0），A（0，0，1），B（0，1，1），
∴

PA

=(-

2

，0，1)，

PB

=(-

2

，1，1)
设

n

=（x，y，z）是平面PBA的一个法向量，由

n • PA =0 n • PB =0

，可得

- 2 x+z=0 - 2 x+y+z=0

，可取

n

=(1，0，

2

)
∵

DA

是平面PDC的一个法向量，且

DA

=（0，0，1）
∴cos＜

DA

，

n

＞=

DA • n

| DA || n |

=

2

3

=

6

3

∴平面PAB与平面PADC所成二面角（锐角）的余弦值为

6

3

．

点评：本题考查线线垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定方法，正确利用向量法解决空间角问题．