Question

已知：(

1

2

+2x)n的二项展开式前三项的二项式系数和等于79．
（1）求展开式的二项式系数之和与系数之和；
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）根据题意，由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n的方程C_n⁰+C_n¹+C_n²=79，解可得n的值，由二项式系数的性质可得其展开式二项式系数之和，在（

1

2

+2x）¹²中，令x=1可得其展开式的系数之和；
（2）根据题意，假设T_k+1项的系数最大，T_k+1项的系数为r_k，则有

rk≥ rk+1 rk≥rk-1

，代入数据，解可得k=10，即展开式中系数最大的项为T₁₁，计算可得T₁₁的值，即可得答案．

解答：解：（1）根据题意，(

1

2

+2x)n的二项展开式的通项为T_r+1=2^r•C_n^r•（

1

2

）^n-r•x^r，
由其二项展开式前三项的二项式系数和等于79，则C_n⁰+C_n¹+C_n²=79，
即1+n+

n(n+1)

2

=79，
又由n∈N，
解可得n=12，
则其展开式二项式系数之和为2¹²=4096，
令x=1，可得（

1

2

+2）¹²=（

5

2

）¹²，即其展开式的系数之和（

5

2

）¹²，
（2）设T_k+1项的系数最大．
∵（

1

2

+2x）¹²=（

1

2

）¹²（1+4x）¹²，
∴

C k 12 4k≥ C k-1 12 4k-1 C k 12 4k≥ C k+1 12 4k+1

∴9.4＜k＜10.4，∴k=10，
∴展开式中系数最大的项为T₁₁．
T₁₁=（

1

2

）¹²C₁₂¹⁰4¹⁰x¹⁰=16896x¹⁰．
故其展开式中系数最大的项16896x¹⁰．

点评：本题考查二项式定理的应用，涉及二项展开式中二项式系数和与系数和问题，容易出错．要正确区分这两个概念．