Question

已知数列{b_n}是等差数列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=145．
（1）求数列{b_n}的通项b_n；
（2）设数列{a_n}的通项a_n=log_a（1+

1

bn

）（其中a＞0，且a≠1），记S_n是数列{a_n}的前n项和．试比较S_n与

1

3

log_ab_n+1的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据数列{b_n}是等差数列，建立b₁与d的方程组，解之即可；
（2）因此要比较S_n与

1

3

log_ab_n+1的大小，可先比较（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3n-2

）与

3	3n+1

的大小，利用用数学归纳法证明此式，当a＞1时，S_n＞

1

3

log_ab_n+1，当0＜a＜1时，S_n＜

1

3

log_ab_n+1．

解答：解：（1）设数列{b_n}的公差为d，由题意得

b1=1 10b1+ 10(10-1) 2 d=145.

解得

b1=1 d=3.

所以b_n=3_n-2．
（2）由b_n=3_n-2，知
S_n=log_a（1+1）+log_a（1+

1

4

）++log_a（1+

1

3n-2

）
=log_a[（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3n-2

）]，

1

3

log_ab_n+1=log_a

3	3n+1

．
因此要比较S_n与

1

3

log_ab_n+1的大小，可先比较（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3n-2

）与

3	3n+1

的大小．
取n=1有（1+1）＞

3	3•1+1

，
取n=2有（1+1）（1+

1

4

）＞

3	3•2+1

，
由此推测（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3n-2

）＞

3	3n+1

．①
若①式成立，则由对数函数性质可断定：
当a＞1时，S_n＞

1

3

log_ab_n+1．
当0＜a＜1时，S_n＜

1

3

log_ab_n+1．
下面用数学归纳法证明①式．
（ⅰ）当n=1时已验证①式成立．
（ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即
（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3k-2

）＞

3	3k+1

．
那么，当n=k+1时，
（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3k-2

）（1+

1

3(k+1)-2

）＞

3	3k+1

（1+

1

3k+1

）
=

3 3k+1

3k+1

（3k+2）．
因为[

3 3k+1

3k+1

(3k+2)]3-[

3	3k+4

]3=

(3k+2)3-(3k+4)(3k+1)2

(3k+1)2

=

9k+4

(3k+1)2

＞0，
所以

3 3k+1

3k+1

（3k+2）＞

3	3k+4

=

3	3(k+1)+1

．
因而（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3k-2

）（1+

1

3k+1

）＞

3	3(k+1)+1

．
这就是说①式当n=k+1时也成立．
由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n都成立．
由此证得：
当a＞1时，S_n＞

1

3

log_ab_n+1．
当0＜a＜1时，S_n＜

1

3

log_ab_n+1．

点评：本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．