Question

P是抛物线y²=2x上一点，P到点A(3，

10

3

)的距离为d₁，P到直线x=-

1

2

的距离为d₂，当d₁+d₂取最小值时，点P的坐标为（　　）

• A．（0，0）
• B．（2，2）
• C．（1，

  2

  ）
• D．（

  1

  2

  ，1）

Answer 1

分析：抛物线的准线方程为：x=-

1

2

，焦点坐标为(

1

2

，0)根据抛物线定义，P到准线的距离d₂等于P到其焦点F(

1

2

，0)的距离．
则d₁+d₂取得最小值时，P一定在AF的连线上，且在第一象限．求出AF的方程，进而可求点P的坐标．

解答：解：抛物线的准线方程为：x=-

1

2

，焦点坐标为(

1

2

，0)
根据抛物线定义，P到准线的距离d₂等于P到其焦点F(

1

2

，0)的距离．则d₁+d₂取得最小值时，P一定在AF的连线上，且在第一象限．
∵直线AF方程：

y-0

10 3 -0

=

x- 1 2

3- 1 2

即4x-3y-2=0
与抛物线方程y²=2x联立，可得2y²-3y-2=0
∴y=2或y=-

1

2

∵P在第一象限
∴y=2
∴x=2
∴交点P的坐标为（2，2）
故选B．

点评：本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线定义的运用，考查直线方程的求解，属于基础题．