Question

已知A、B、D三点不在一条直线上，且A（-2，0），B（2，0），||=2，=（+）

（1）求点E的轨迹方程；

（2）过点A作直线L交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点.线段MN的中点到y轴距离为且直线MN与点E的轨迹相切，求椭圆的方程.

Answer 1

(1)设E(x,y), =(+ ).∴=2-,∴=2(x+2,y)-(4,0)=(2x,2y).又||=2,∴x²+y²=1(y≠0).

(2)设椭圆方程为：+=1,直线L:y=k(x+2).由于直线L与圆E相切，∴=1,∴k=±直线L：y=±(x+2).

    将y=±(x+2)代入b²x²+a²y²-a²b²=0,则有(3b²+a²)x²+4a²x+4a²-3a²b²=0.

∴x_M+x_N=.∴x_中==.

|x_中|==,∴5a²=6b²+2a²,

∴a²=2b².

    又c²=4,∴b²=4,a²=8椭圆方程为

+=1.