Question

已知椭圆的左右两焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆C上的一点，且在x轴的上方，H是PF₁上一点，若，（其中O为坐标原点）．求椭圆C离心率e的最大值．

Answer 1

【答案】分析：由已知中椭圆的左右两焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆C上的一点，且在x轴的上方，H是PF₁上一点，，我们易得PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁，进而由，我们可以得到离心率e平方的表达式，分析出其对应函数的单调性，进而得到椭圆C离心率e的最大值．
解答：解：由题意知PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁，则有△F₁OH与△F₁PF₂相似，
所以，设F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，P（c，y₁），
则有，解得，
所以．
根据椭圆的定义得：，
∴，
即，
所以，
∵在上是单调减函数，
∴当时，e²取最大值，
所以椭圆C离心率e的最大值是．
点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的离心率，其中由已知条件求出离心率e平方的表达式，并分析出其对应函数的单调性是解答本题的关键．