Question

已知椭圆的左右两焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆C上的一点，且在x轴的上方，H是PF₁上一点，若，（其中O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C离心率e的最大值；
（Ⅱ）如果离心率e取（Ⅰ）中求得的最大值，已知b²=2，点M（-1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据题意，△F₁OH与△F₁PF₂相似，所以，|PF₂|=，|PF₁|=2a-，从而可求λ=，于是有，而λ∈[]，可求椭圆C离心率e的最大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知道椭圆C离心率e的最大值是，椭圆C的方程为，直线l的其方程为y=k（x+1），N（0，k）设Q（x₁，y₁），由可得（x₁，y₁-k）=2（-1-x₁，-y₁），求得x₁，y₁，代入椭圆方程可求得k．
解答：解：（Ⅰ）由题意知PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁
则有△F₁OH与△F₁PF₂相似，所以…（2分）
设F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，P（c，y₁），则有，解得，
所以根据椭圆的定义得：…（4分）
∴，即，所以…（6分）
显然在上是单调减函数，当时，e²取最大值．
所以椭圆C离心率e的最大值是…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，解得a²=4，
∴椭圆C的方程为…（10分）
由题意知直线l的斜率存在，故设其斜率为k，则其方程为y=k（x+1），N（0，k）
设Q（x₁，y₁），由于，所以有（x₁，y₁-k）=2（-1-x₁，-y₁）
∴…（12分）
又Q是椭圆C上的一点，则，解得k=±4，
所以直线l的方程为4x-y+4=0或4x+y+4=0…（14分）
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查椭圆的性质，难点在于（Ⅰ）中离心率e与λ关系的分析整理，突出转化思想与方程思想的运用，综合性强，属于难题．