Question

已知椭圆的左右两焦点为F₁，F₂，P是椭圆上一点，且在x轴上方，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁于H，OH=λOF₁，λ∈[，]。
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）当e取最大值时，过F₁，F₂，P的圆Q的截y轴的线段长为6，求圆Q的方程；
（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线L上任一点A引圆Q的两条切线，切点分别为M，N，试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由。

Answer 1

解：由相似三角形知，，，
∴。
(1)，
∴，在上单调递减，
∴时，最小，时，最小，
∴，∴。
(2)当时，，∴，∴，
∵，
∴是圆的直径，圆心是的中点，
∴在y轴上截得的弦长就是直径，∴=6，
又，
∴，
∴，圆心Q（0，1），半径为3，。
(3)椭圆方程是，右准线方程为，
∵直线AM，AN是圆Q的两条切线，
∴切点M，N在以AQ为直径的圆上。
设A点坐标为，
∴该圆方程为，
∴直线MN是两圆的公共弦，两圆方程相减，得，
这就是直线MN的方程，
该直线化为：，
∴，∴直线MN必过定点。