Question

在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B，并且D点在平面ABC内的射影落在AB上．若在四面体D-ABC内有一球，当球的体积最大时，球的半径是          .

Answer 1

  当球的体积最大时，球与三棱锥D -ABC 的各面相切，设球队半径为R ，则V_{D -ABC} = V_{O -ABC} +V_{O -DAC} + V_{O -DBA} + V_{O -DAB} = R(S_△ABC + S_△DAC + S_△DBC + S_△DAB).由题设易知AD⊥平面DBC, 又∵BD平面DBC，∴AD⊥BD，∴△ABD为直角三角形，∵AB = 4，AD = 3，∴BD = ，∴S_△ABC = AD·BD = ×3×= .在△DAB和△DBC中，∵AD = BC，AB = DC，DB = DB，∴△DAB≌△BCD，故S_△DBC = ，V_{D -ABC} = V_{A –DBC} = ×3×= ，∴S_△ABC = S_△ADC = 6，∴R(6 + 6 + + )，于是( 4 + )R = ， 解得R =