题目内容
试判断方程x3+x2-5x-5=0的解的个数.
分析：本题考查导数的应用.要判断方程根的个数，可把方程视作函数，由导数确定它的单调区间，描绘出它的大致图象，再由根的存在性定理，确定方程根的个数.
解：不妨设f(x)=x3+x2-5x-5,
则f′(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-1).
令f′(x)>0，得x<-
或x>1;
f′(x)<0，得-
<x<1.
故函数f(x)在区间(-∞,-
)，（1，+∞）上是增函数;
在区间(-
,1)上是减函数.
它的大致图象是：
显然方程x3+x2-5x-5=0的根有3个.
此外,本题也可通过因式分解求解.
点评 利用导数可判断方程根的个数:若函数y=f(x)在(a,b)上是单调函数,且f(a)·f(b)<0,则必存在一个x0,使得f(x0)=0.依据根的分布的基本原理,结合函数的导数可完成对方程根的个数的判断.
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