Question

已知数列的前项和，数列满足．

（1）求

（2）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（3）设，数列的前项和为，求满足的的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）证明详见解析，；（3）的最大值为．

【解析】

试题分析：（1）根据条件中，可令，结合，即可得：；（2）欲证是等差数列，而条件中，因此可以首先根据数列满足的条件探究与满足的关系，进而可以得到数列中与满足的关系：当时，，

∴，即，∴，

又∵ ，∴，而，∴是以为首项，为公差的等差数列，；

（3）由（2）结合条件，可得，因此可以考虑采用裂项相消法求数列的前项和：，从而可将转化为关于的不等式：，结合，即可知的最大值为．

试题解析：（1）∵，∴令n=1，；

（2）证明：在中，当时，，

∴，即，∴，

又∵ ，∴，而，∴是以为首项，为公差的等差数列，

∴，∴；

（3）由（2）及 ，∴cn＝log2＝log22n＝n，

∴，∴ ，

∴，

又∵，∴的最大值为．

考点：1．等差数列的证明；2．求数列的通项公式；3．裂项相消法求数列的和．