题目内容
18．已知椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$与直线l：x-y+λ=0相切．（1）求λ的值；
（2）设直线$m：x-y+4\sqrt{5}=0$，求椭圆上的点到直线m的最短距离．
分析 （1）联立直线和椭圆方程，消去y，由判别式为0，解方程可得所求值；
（2）运用直线和直线m平行，且与椭圆相切的直线，运用平行线的距离，即可得到最小值．
解答 解：（1）联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ x-y+λ=0\end{array}\right.$得：
5x2+8λx+4λ2-4=0，
由△=0即64λ2-20（4λ2-4）=0，
解得，λ=±$\sqrt{5}$；
（2）由直线l∥m，
可得两平行线的距离为d=$\frac{|4\sqrt{5}-\sqrt{5}|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
或$\frac{|4\sqrt{5}+\sqrt{5}|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{5\sqrt{10}}{2}$．
故椭圆上的点到直线m的最短距离为$\frac{3\sqrt{10}}{2}$．
点评 本题考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，考查椭圆上的点与直线最短距离的求法，考查运算能力，属于中档题．
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| A． | $[\frac{{\sqrt{5}}}{5}，\frac{1}{2}）$ | B． | $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{4}{5}）$ | C． | $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$ | D． | $（0，\frac{{\sqrt{5}}}{5}]$ |
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| A． | ${y^2}-\frac{x^2}{3}=1$ | B． | $\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$ | C． | $\frac{y^2}{3}-{x^2}=1$ | D． | ${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$ |
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| A． | a＞b＞c | B． | b＞a＞c | C． | a＞c＞b | D． | b＞c＞a |