Question

已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（2）若对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先将函数进行配方得到对称轴，判定出函数f（x）在[1，a]上的单调性，然后根据定义域和值域均为[1，a]建立方程组，解之即可；
（2）将a与2进行比较，将条件“对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4”转化成对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有f（x）_max-f（x）_min≤4恒成立即可．

解答：解：（1）∵f（x）=（x-a）²+5-a²（a＞1），
∴f（x）在[1，a]上是减函数，又定义域和值域均为[1，a]，
∴

f(1)=a f(a)=1

，
即

1-2a+5=a a2-2a2+5=1

，解得a=2．
（2）若a≥2，又x=a∈[1，a+1]，且，（a+1）-a≤a-1
∴f（x）_max=f（1）=6-2a，f（x）_min=f（a）=5-a²．
∵对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，
∴f（x）_max-f（x）_min≤4，即（6-2a）-（5-a²）≤4，解得-1≤a≤3，
又a≥2，∴2≤a≤3．
若1＜a＜2，f_max（x）=f（a+1）=6-a²，f（x）_min=f（a）=5-a²，
f（x）_max-f（x）_min≤4显然成立，综上1＜a≤3．

点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，同时考查了转化与划归的数学思想，属于中档题之列．