Question

5．数列{a_n}满足a₁=1，且对于任意的n∈N^*都满足a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，则数列{a_na_n+1}的前n项和为 （　　）

• A． $\frac{1}{3n+1}$
• B． $\frac{n}{3n+1}$
• C． $\frac{1}{3n-2}$
• D． $\frac{n}{3n-2}$

Answer 1

分析 把已知的数列递推式两边取倒数，可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以3为公差的等差数列，求其通项公式后得a_n，再利用裂项相消法求数列{a_na_n+1}的前n项和．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+3$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=3$，
又a₁=1，∴$\frac{1}{{a}_{1}}=1$，
则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以3为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=1+3（n-1）=3n-2$．
∴${a}_{n}=\frac{1}{3n-2}$，${a}_{n}{a}_{n+1}=\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
则数列{a_na_n+1}的前n项和为$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）=\frac{n}{3n+1}$．
故选：B．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．