题目内容

（2012•房山区一模）今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：
高一年级 高二年级 高三年级
10人 6人 4人
（I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；
（II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
分析：（I）利用古典概型的概率公式，可求恰好有1人是高一年级学生的概率；
（II）确定ξ的所有取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率，从而可得随机变量ξ的分布列和数学期望；利用随机变量ξ服从参数为4，
1
3
的二项分布，也可求．
解答：解：（I）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A，则P(A)=
C
1
10
C
2
10
C
3
20
=
15
38

答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为
15
38
．…（4分）
（II）解法1：ξ的所有取值为0，1，2，3，4．由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为
1
3
．所以  …（6分）P(ξ=0)=
C
0
4
(
1
3
)0(
2
3
)4=
16
81
；       P(ξ=1)=
C
1
4
(
1
3
)1(
2
3
)3=
32
81
；P(ξ=2)=
C
2
4
(
1
3
)2(
2
3
)2=
24
81
=
8
27
；P(ξ=3)=
C
3
4
(
1
3
)3(
2
3
)1=
8
81
；
P(ξ=4)=
C
4
4
(
1
3
)4(
2
3
)0=
1
81
．…（11分）
随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3 4
P
16
81
32
81
8
27
8
81
1
81
…（12分）
所以Eξ=0×
16
81
+1×
32
81
+2×
24
81
+3×
8
81
+4×
1
81
=
4
3
…（13分）
解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为
1
3
．…（5分）
则随机变量ξ服从参数为4，
1
3
的二项分布，即ξ～B(4，
1
3
)．…（7分）
随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3 4
P
16
81
32
81
8
27
8
81
1
81
所以Eξ=np=4×
1
3
=
4
3
…（13分）
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，解题的关键是确定变量的取值，求出相应的概率．
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