Question

已知圆c：（x-1）²+y²=4，直线l：mx-y-1=0
（1）当m=-1时，求直线l圆c所截的弦长；
（2）求证：直线l与圆c有两个交点．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：（1）当m=-1时，直线l：x+y+1=0，先求出圆心c到直线l：x+y+1=0的距离，再求直线l被圆c所截的弦长．（2）由直线l和圆c的方程联立，得（1+m²）x²-2（m+1）x-2=0，由此利用根的判别式能证明直线l与圆c有两个交点．

解答： （1）解：当m=-1时，直线l：x+y+1=0，
圆心c（1，0），半径r=2，
则圆心c到直线l：x+y+1=0的距离为d=

2

所以直线l被圆c所截的弦长为2

r2-d2

=2

2

…（4分）
（2）证明：由直线l和圆c的方程联立，
得

x+y+1=0 (x-1)2+y2=4

，
消去y得（1+m²）x²-2（m+1）x-2=0…（6分）
因为△=4（1+m）²+8（1+m²）＞0
所以直线l与圆c有两个交点．…（8分）

点评：本题考查弦长的求法，考查直线l与圆c有两个交点的证明，是中档题，解题时要注意圆的性质的合理运用．