Question

15．设f（x）=x•lnx，g（x）=ax-1，则：
（1）若f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；
（2）证明：y=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$没有过点P（0，1）的切线；
（3）求证：ln（1+n）＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$．

Answer 1

分析 （1）对式子整理得a≤lnx+$\frac{1}{x}$恒成立，只需判断右边式子的最小值即可，利用导函数求最值的方法求解
（2）函数定义域为（0，+∞），点P（0，1）不在定义域内
（3）利用（1）式的结论，整理得恒成立式子ln（x+1）≥$\frac{x}{x+1}$，需利用加减进行叠加，想到令$\frac{1}{n}$=x进行求解．

解答 解：（1）f（x）≥g（x）恒成立
∴x•lnx-ax+1≥0恒成立
∴a≤lnx+$\frac{1}{x}$恒成立
h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$
h'（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$
x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）递减
x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）递增
h（x）≥h（1）=1
∴a≤1
（2）y=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx}{x}$
定义域为（0，+∞）
∴P（0，1）没在函数图象上，也没有过点P（0，1）的切线
（3）当a=1时，由（1）得
lnx≥$\frac{x-1}{x}$
∴ln（x+1）≥$\frac{x}{x+1}$
令$\frac{1}{n}$=x
∴ln（n+1）-lnn≥$\frac{1}{n+1}$
ln2-ln1≥$\frac{1}{2}$
ln3-ln2≥$\frac{1}{3}$
…
ln（n+1）-lnn≥$\frac{1}{n+1}$
累加得ln（1+n）＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$．

点评 考查了恒成立问题的转换和对结论的分析，探索．