Question

3．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）经过（2，0）且倾斜角为135°的直线与抛物线交于B，C两点，求线段BC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得抛物线的焦点和准线方程，由点到直线的距离，可得p=2，进而得到抛物线方程；
（Ⅱ）求得直线BC的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），
准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
A到抛物线准线的距离等于5．
即有4+$\frac{p}{2}$=5，解得p=2，
故抛物线的方程为y²=4x；
（Ⅱ）直线BC的方程为y=-（x-2），
代入抛物线方程y²=4x，
可得x²-8x+4=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
x₁+x₂=8，x₁x₂=4，
即有|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{64-16}$=4$\sqrt{3}$，
则|BC|=$\sqrt{1+1}$•|x₁-x₂|=4$\sqrt{6}$．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，属于中档题．