Question

如图，A地到火车站共有两条路径L₁和L₂，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

时间(分钟)	10～20	20～30	30～40	40～50	50～60
L1的频率	0.1	0.2	0.3	0.2	0.2
L2的频率	0	0.1	0.4	0.4	0.1

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.

(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望.

Answer 1

(1)A_i表示事件“甲选择路径L_i时，40分钟内赶到火车站”，B_i表示事件“乙选择路径L_i时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2，用频率估计相应的概率，则有：

P(A₁)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，

P(A₂)＝0.1＋0.4＝0.5；

∵P(A₁)>P(A₂)，

∴甲应选择路径L₁；

P(B₁)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，

P(B₂)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9；

∵P(B₂)>P(B₁)，∴乙应选择路径L₂.

(2)用A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又事件A，B相互独立，X的取值是0,1,2，

∴P(X＝0)＝P()＝P()·P()＝0.4×0.1＝0.04，

P(X＝1)＝P(B＋A)＝P()P(B)＋P(A)P()

＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，

P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)·P(B)

＝0.6×0.9＝0.54.

∴X的分布列为

X	0	1	2
P	0.04	0.42	0.54

E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.