题目内容

已知f（x）=3^x，f（a+2）=27，函数g（x）=λ•2^ax-4^x的定义域为[0，2]
（1）求a的值
（2）若函数g（x）的最大值是 $数学公式$ ，求实数λ的值．

解：（1）依题f（a+2）=3^a+2=27，
解之得a+2=3，得a=1 _{--------------------------------------------}
（2）令2^x=t，由0≤x≤2，可得t∈[1，4]_{-------------------------}
g（x）=h（t）=-t²+λt=-（t- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ．t∈[1，4]
①当 $\text{[math]}$ ＜1即λ＜2时，[h（t）]_max=h（1）=λ-1= $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，符合条件_{-------------------------}
②当1≤ $\text{[math]}$ ＜4，即2≤λ＜8时，[h（t）]_max=h（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
解之得λ= $\text{[math]}$ ∉[2，8），不符合题意，舍去_----
③当 $\text{[math]}$ ≥4，即λ≥8时，[h（t）]_max=h（4）=4λ-16= $\text{[math]}$
解之得λ= $\text{[math]}$ ＜8，不符合题意，舍去_{------------------}
综上所述，函数g（x）的最大值是 $\text{[math]}$ 时，实数λ的值 $\text{[math]}$ ．_{---------------------------}
分析：（1）根据函数表达式，结合题意得3^a+2=27，利用指数的运算性质可得实数a的值；
（2）令2^x=t，可得g（x）=h（t）=-（t- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，其中t∈[1，4]．再根据二次函数的单调性进行分类讨论，分别建立关于λ的方程，解之并加以检验，最后综合可得函数g（x）的最大值是 $\text{[math]}$ 时，实数λ的值 $\text{[math]}$ ．
点评：本题给出指数函数，求特殊函数值对应的自变量并依此求“类二次函数”的最值问题．着重考查了指数函数的性质、二次函数在闭区间上的最值讨论等知识，属于中档题．