Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-ax2-x+1(a∈R)
（1）若函数f（x）在x=x₁，x=x₂处取得极值，且|x₁-x₂|=2，求a的值及f（x）的单调区间；
（2）若0＜a＜

1

2

，求曲线f（x）与g(x)=

1

2

x2-(2a+1)x+

5

6

(-2≤x≤0)的交点个数．

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=

1

3

x3-ax2-x+1(a∈R)，知f′（x）=x²-2ax-1，由函数f（x）在x=x₁，x=x₂处取得极值，知x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-1，由|x₁-x₂|=2，能求出a=0．由此能求出f（x）的单调区间．
（2）设 F（x）=f（x）-g（x），则F（x）=

1

3

x3-(a+

1

2

)x2+2ax+

1

6

，由F′（x）=x²-（2a+1）x+2a=（x-1）（x-2a），0＜a＜

1

2

，-2≤x≤0，知F（x）在[-2，0]上是增函数，再由F（-2）＜0，F（0）＞0，知曲线f（x）与g(x)=

1

2

x2-(2a+1)x+

5

6

，（-2≤x≤0）的交点个数是1个．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

1

3

x3-ax2-x+1(a∈R)，
∴f′（x）=x²-2ax-1，
∵函数f（x）在x=x₁，x=x₂处取得极值，
∴x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-1，
∵|x₁-x₂|=2，
∴

(x1+x2)  2-4x1x2

=

4a2+4

=2，
∴a=0．
∴f′（x）=x²-1，
由f′（x）=x²-1＞0，得x＜-1，或x＞1；
由f′（x）=x²-1＜0，得-1＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-1）增，在（-1，1）减，在（1，+∞）增．
（2）设 F（x）=f（x）-g（x），
∵f(x)=

1

3

x3-ax2-x+1(a∈R)，
g(x)=

1

2

x2-(2a+1)x+

5

6

，（-2≤x≤0），
∴F（x）=

1

3

x3-(a+

1

2

)x2+2ax+

1

6

，
∴F′（x）=x²-（2a+1）x+2a=（x-1）（x-2a），
∵0＜a＜

1

2

，-2≤x≤0，
∴F′（x）=x²-（2a+1）x+2a=（x-1）（x-2a）＞0，
F（x）在[-2，0]上是增函数，
∵F（-2）=-

8

3

-4a-2-4a+

1

6

＜0，
F（0）=

1

6

＞0，
∴曲线f（x）与g(x)=

1

2

x2-(2a+1)x+

5

6

，（-2≤x≤0）的交点个数是1个．

点评：本题考查导数在最大值和最小值问题中的应用，考查利用导数求两个函数的交点的数，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
“g(x)=

1

2

x2-(2a+1)x+

5

6

(-2≤x≤1)”应该更正为“g(x)=

1

2

x2-(2a+1)x+

5

6

，（-2≤x≤0）”．