Question

【题目】已知等差数列的公差，数列满足，集合.

（1）若，求集合；

（2）若，求使得集合恰好有两个元素；

（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）

【解析】

（1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列周期为，从而得到；（2）恰好有两个元素，可知或者，求解得到的取值；（3）依次讨论的情况，当时，均可得到符合题意的集合；当时，对于，均无法得到符合题意的集合，从而通过讨论可知.

（1）， ，，

，，，

由周期性可知，以为周期进行循环

（2），，

恰好有两个元素

或

即或

或

（3）由恰好有个元素可知：

当时，，集合，符合题意；

当时，，

或

因为为公差的等差数列，故

又，故

当时，如图取，，符合条件

当时，，

或

因为为公差的等差数列，故

又，故

当时，如图取，，符合条件

当时，，

或

因为为公差的等差数列，故

又，故

当时，如图取时，，符合条件

当时，，

或

因为为公差的等差数列，故

又，故

当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，,不符合条件；

当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，不是整数，故不符合条件；

当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有或

若，即，不是整数，

若，即，不是整数，

故不符合条件；

综上：