Question

【题目】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（b+c）tanC＝﹣ctanA．

（1）求A；

（2）若b，c＝2，点D在BC边上，且AD＝BD，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）A；（2）AD

【解析】

（1）在（b+c）tanC＝﹣ctanA中利用同角公式切化弦和正弦定理边化角可得答案；

（2）先用余弦定理求得,然后求得,再在△中用余弦定理求得即可.

（1）∵（b+c）tanC＝﹣ctanA，∴（）c，

利用正弦定理边化角得：（sinB+sinC）sinC，∵0＜C＜π，∴sinC≠0，

∴（sinB+sinC），∴sinBcosA+sinCcosA＝﹣sinAcosC，

∴sinBcosA＝﹣（sinAcosC+sinCcosA）＝﹣sin（A+C）＝﹣sinB，

又∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA＝﹣1，∴cosA，又∵0＜A＜π，∴A；

（2）∵A，b，c＝2，∴由余弦定理得：cosA，

∴，∴a，∴cosB，

∴在三角形ABD中，由余弦定理得：cosB，且BD＝AD，

，∴AD．